理解向量
向量具有维度和方向。 例如，下图描绘了一个二维向量 \vec{a}，在笛卡尔坐标系中表示为箭头。 向量 \vec{a} 的头部位于点 (a_1, a_2)。 x 坐标值为 a_1，y 坐标值为 a_2。这些坐标也称为向量的分量。
相似性
可以使用几种数学公式来确定两个向量是否相似。 其中最直观、最容易理解的是余弦相似度。 请看以下显示三组图表的图片：
当向量 \vec{A} 和 \vec{B} 指向彼此靠近时，如第一张图所示，它们被认为是相似的。 当向量指向彼此垂直时，它们被认为是不相关的；当它们指向彼此远离时，它们被认为是相反的。
它们之间的夹角 \theta 是衡量其相似度的一个很好的指标。 如何计算角度 \theta？
我们都熟悉 勾股定理。
那么当 a 和 b 之间的夹角不是 90 度时呢？
引入 余弦定理。
a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = c^2
下图以向量图的形式展示了这种方法：
该向量的模定义为其分量形式：
\vec{A} * \vec{A} = ||\vec{A}||^2 = A_1^2 + A_2^2
两个向量 \vec{A} 和 \vec{B} 之间的点积定义为其分量形式：
\vec{A} * \vec{B} = A_1B_1 + A_2B_2
用向量的模和点积重写余弦定理，得到以下公式：
||\vec{A}||^2 + ||\vec{B}||^2 - 2||\vec{A}||||\vec{B}||\cos\theta = ||\vec{C}||^2
将 ||\vec{C}||^2 替换为 ||\vec{B} - \vec{A}||^2，得到以下公式：
||\vec{A}||^2 + ||\vec{B}||^2 - 2||\vec{A}||||\vec{B}||\cos\theta = ||\vec{B} - \vec{A}||^2
similarity(vec{A},vec{B}) = \cos(\theta) = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{||\vec{A}\||\cdot||\vec{B}||
这个公式适用于高于 2 或 3 维的情况，尽管很难可视化。然而，它可以在一定程度上可视化。 在 AI/ML 应用中，向量通常具有数百甚至数千个维度。
使用向量分量的高维相似度函数如下所示。 它通过使用 求和数学语法 将前面给出的二维模和点积定义扩展到 N 维。
similarity(vec{A},vec{B}) = \cos(\theta) = \frac{ \sum_{i=1}^{n} {A_i B_i} }{ \sqrt{\sum_{i=1}{n}{A_i2} \cdot \sum_{i=1}{n}{B_i2}}
这是向量存储简单实现中使用的关键公式，可以在 SimpleVectorStore 实现中找到。